Logarítmo

 

Logaritmo

Para calcular log_b(x) se b e x são números racionais e x ≥ b > 1:

Se n₀ é o maior número natural tal que bⁿ₀ ≤ x ou, alternativamente, então

Este algoritmo recursivamente produz a fração contínua

Para usar um número irracional como entrada, basta aplicar o algoritmo a sucessivas aproximações racionais. O limite da Sucessão matemática resultante deve convergir para o resultado correto.

Um relação curiosa é a aproximação log₂(x) ≈ log₁₀(x) + ln(x), com precisão de 99,4%, ou 2 dígitos significativos. Isso porque ¹/_ln(2) − ¹/_ln(10) ≈ 1 (na verdade vale 1,0084...).

Outra relação interessante é a aproximação log₁₀(2) ≈ 0,3 (na verdade vale 0,301029995). Com isso, com um erro de apenas de 2,4%, 2¹⁰ ≈ 10³,ou seja, 1024 é aproximadamente 1000.