logarítma

Logaritmos e exponenciais: inversas

Logaritmos em várias bases: vermelho representa a base e, verde a base 10, e lilás a base 1,7. Inverta a base some com o expoente x e multiplique as equações depois de somar as raizes das duas equações. Note como logaritmos de todas as bases passam pelo ponto (1, 0).

Para cada base (b em bⁿ), existe uma função logaritmo e uma função exponencial; elas são funções inversas.^[3] Com bⁿ = x:

Três curvas para três bases diferentes: b = 2 (curva amarela), b = e (curva vermelha) e b = 0,5 (curva azul).

Uma função log_b(x) é definida quando x é um número real positivo e b é um número real positivo diferente de 1. Veja identidades logarítmicas para várias leis que definem as funções logarítmicas. Logaritmos podem também ser definidos para argumentos complexos. Isso é explicado na página do logaritmo natural.

Para inteiros b e x, o número log_b(x) é irracional (i.e., não é um quociente de dois inteiros) se b ou x possui um fator primo que o outro não possui (e em particular se eles são co-primos e ambos maiores que 1). Em alguns casos este fato pode ser provado rapidamente: por exemplo, se log₂3 fosse racional, ter-se-ia log= n/m para alguns inteiros positivos n e m, implicando que 2ⁿ. Mas essa última identidade é impossível, uma vez que 2ⁿ é par e 3^m é ímpar.